Abhandlungen ueber die algebraische Aufloesung der by N. H. Abel, E. Galois

By N. H. Abel, E. Galois

Zu der hinterlassenen Abllamllullg VOll Abel, S. 57-81. 1 Die Definition der Ordnung eines algebraischen Ausdrucks, wie sie auf Seite sixty seven gegeben ist, ist incorrcct und nach der auf S. 10 angefiihrten zu berichtigen. Die Ordnung eines algebraischen Ausdrucks ist additionally nicht gleich der Anzahl der in ihm ausser den bekannten Grossen auftretenden Wurzelgrossen, sondern vielmehr, wenn guy sich des Symbols V-Wie ublich zur Bezeichnung der Wurzelgrossen bedient, gleich der grossten von denjenigen Zahlen, welche angeben, wie viele solcher Wurzelzeichen sich in dem gegebenen algebraischen Ausdruck uber einander erstrecken. Dabei wird vorausgesetzt, dass, wenn ein Wurzelzeichen einen Index hat, welcher eine zusammengesetzte Zahl ist, dasselbe nach der Formel 1Jtn m -V-= VFso weit umgeformt werde, bis siimtliche Wurzelzeiehen Primzahl exponenten tragen, und dass sich keines dieser Wurzelzeichen durch Ausfuhrung der durch dasselbe angedeuteten Operation beseitigen Hisst. Kommen in einem algebraischen Ausdruck mehrere solcher auf einander oder auf algebrai. che Ausdrucke niederer Ordnung nicht reducierbarer Wurzelgrossen vor, in denen jene, die grosste Anzahl der iiber einander sich erstreekenden 'Wurzelzeichen angebenden Zahlen einander gleich sind, so giebt die Anzahl derselben den Grad des algebraischen Ausdrucks an. - Ist In die Ordnung des algebraischen Ausdrucks und bezeichnet guy die einzelnen Wurzelgrossen in der Reihenfolge, wie sie numerisch berechnet werden ter mussen, um den Wert der Wurzelgrosse m Ordnung zu erhalten, mit ""m-l . . . .

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W. darin, daß 48 3 Das Dualit¨ atsprinzip man das duale Problem mit dem Simplex–Algorithmus l¨ ost, dabei aber immer die gesuchten Gr¨ oßen des primalen Problems betrachtet. Wir ben¨ otigen diese Methode im n¨ achsten Abschnitt, um dort den Rechenaufwand in einem Beispiel gering zu halten. Behandeln wollen wir deshalb auch nur eine der m¨ oglichen Varianten der dualen Simplexmethode und wir verzichten außerdem auf eine Herleitung dieses Verfahrens3 . 1), f¨ ur das wir diesmal nicht b ≥ o voraussetzen.

Um feststellen zu k¨ onnen, ob ⎛ b1 b2 .. ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ x0 := ⎜ ⎜ bm ⎜ 0 ⎜ ⎜ . ⎝ .. 6) ist, werden wir das obige Schema etwas vergr¨ oßern. Wenn nachfolgend von Zeilen oder Spalten dieses Schemas die Rede ist, sind stets nur die eingerahmten Teile (also nicht die oberste Zeile der NBV und nicht die erste Spalte der BV) gemeint. 26 2 Die Simplexmethode xm+1 xm+2 . . xn cm+1 cm+2 . . cn 0 x1 c1 a1,m+1 a1,m+2 . . an b1 x2 c2 a2,m+1 a2,m+2 . . an b2 −1 .. .. ........................ xm cm am,m+1 am,m+2 .

Q · xq ) + (1 − λ) · (µ3 · x3 + . . + µq · xq ), wobei 1 ≥ λ · λi ≥ 0, 1 ≥ (1 − λ) · µi ≥ 0 (i = 1, 2, . . , q) und λ · (λ3 + . . + λq ) +(1 − λ) · (µ3 + . . + µq ) = λ + (1 − λ) = 1. 5 Sei M ⊆ Rn×1 eine konvexe, nichtleere und beschr¨ ankte Menge. ur x ∈ M definierte lineare Außerdem bezeichne f eine durch f (x) = cT · x f¨ Funktion. , es gibt gewisse x∗ , x∗∗ ∈ M mit f (x∗ ) = min f (x) x∈M und f (x∗∗ ) = max f (x). x∈M (2) Nimmt die lineare Funktion f ihr Minimum (bzw. ihr Maximum) auf mehr als einen Punkt an, so nimmt sie es auf der gesamten konvexen H¨ ulle dieser Punkte an.

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