Algebra lineare ed equazioni differenziali ordinarie by Cesare Parenti, Alberto Parmeggiani

By Cesare Parenti, Alberto Parmeggiani

Si tratta di un testo avanzato suddiviso in due parti. l. a. prima fornisce strumenti dell'algebra lineare nel caso finito-dimensionale pensato con una prospettiva infinito-dimensionale. los angeles seconda tratta di equazioni/sistemi differenziali ordinari, con particolare enfasi sulla stabilit dei punti di equilibrio e delle orbite periodiche. Non mancano applicazioni alle equazioni alle derivate parziali. los angeles prima parte pu essere utilizzata autonomamente, mentre l. a. seconda dipende in parte dai risultati esposti nella prima.

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Dimostriamo infine l’ultima affermazione del teorema. L’insieme delle H = H ∗ > 0 per cui (ii) è vera è ovviamente un sottoinsieme di A(n,0) (n; C), e che sia convesso è banale tenuto conto che Γ è un cono convesso. Resta da vedere che tale insieme è aperto. Data H = H ∗ > 0 per cui vale (ii), si tratta di vedere che se K = K ∗ > 0 e dist(H, K) < ε , con ε > 0 opportunamente piccolo, allora anche KAζ , ζ ∈ Γ , per ogni ζ = 0, e chiaramente basterà provarlo quando ||ζ || = 1 e quando Γ = Γγ per un certo γ > 0.

Data A ∈ U(n; C), basta provare che esiste una mappa φ : [0, 1] −→ U(n; C) continua tale che φ (0) = In , φ (1) = A. A tal fine sia (ζ (1) , . , ζ (n)) una base ortonormale di Cn , rispetto al prodotto hermitiano canonico, costituita da autovettori di A, pensata come mappa unitaria di Cn in sé. 54) detta T = [ζ (1)| . |ζ (n)] la matrice le cui colonne sono i vettori ζ (1) , . , ζ (n), si ha: ⎡ ⎤ λ1 0 . . 0 ⎢ 0 λ2 . . 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ (ii) AT = T Λ , dove Λ = ⎢ ⎢ .. . .. ⎥ . ⎣ . . ⎦ 0 0 . . 54). Quanto al punto (i), si osservi che ⎤ ⎡ tζ (1) ⎥ ⎢ ⎢ tζ (2) ⎥ ⎥ ⎢ ⎥, T∗ = ⎢ ⎥ ⎢ ..

38 2 Diagonalizzabilità e forme normali Una matrice A ∈ M(n; C) si dice unitaria se AA∗ = A∗ A = In . 52) (ii) f (v), f (w) = v, w , ∀v, w ∈ V. Che da (i) segua (ii) è banale. Viceversa, se vale (ii) allora v, w = f (v), f (w) = ( f ∗ ◦ f )(v), w , ∀v, w ∈ V, sicché f ∗ ◦ f = 1V , ma allora f è iniettiva e dunque invertibile con inversa f ∗ , per cui vale anche f ◦ f ∗ = 1V . 2 segue che f è diagonalizzabile. Il lettore verifichi per esercizio le proprietà seguenti. • Le trasformazioni lineari da V in sé unitarie rispetto ad un prodotto hermitiano fissato formano un gruppo rispetto alla composizione.

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