Algebra und Diskrete Mathematik 2: Lineare Optimierung, by Dietlinde Lau

By Dietlinde Lau

Algebra und Diskrete Mathematik gehören zu den wichtigsten mathematischen Grundlagen der Informatik. Dieses zweibändige Lehrbuch führt umfassend und lebendig in den Themenkomplex ein. Dabei ermöglichen ein klares Herausarbeiten von Lösungsalgorithmen, viele Beispiele, ausführliche Beweise und eine deutliche optische Unterscheidung des Kernstoffs von weiterführenden Informationen einen raschen Zugang zum Stoff. Die umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben erleichtert nicht nur eine aktive Erarbeitung des Inhalts, sondern zeigt auch die unterschiedlichsten Anwendungsmöglichkeiten auf.

Zum Inhalt: Band 2 besteht aus den drei Teilen: Lineare Optimierung, Graphen und Algorithmen, Algebraische Strukturen und Allgemeine Algebra mit Anwendungen

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W. darin, daß 48 3 Das Dualit¨ atsprinzip man das duale Problem mit dem Simplex–Algorithmus l¨ ost, dabei aber immer die gesuchten Gr¨ oßen des primalen Problems betrachtet. Wir ben¨ otigen diese Methode im n¨ achsten Abschnitt, um dort den Rechenaufwand in einem Beispiel gering zu halten. Behandeln wollen wir deshalb auch nur eine der m¨ oglichen Varianten der dualen Simplexmethode und wir verzichten außerdem auf eine Herleitung dieses Verfahrens3 . 1), f¨ ur das wir diesmal nicht b ≥ o voraussetzen.

Um feststellen zu k¨ onnen, ob ⎛ b1 b2 .. ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ x0 := ⎜ ⎜ bm ⎜ 0 ⎜ ⎜ . ⎝ .. 6) ist, werden wir das obige Schema etwas vergr¨ oßern. Wenn nachfolgend von Zeilen oder Spalten dieses Schemas die Rede ist, sind stets nur die eingerahmten Teile (also nicht die oberste Zeile der NBV und nicht die erste Spalte der BV) gemeint. 26 2 Die Simplexmethode xm+1 xm+2 . . xn cm+1 cm+2 . . cn 0 x1 c1 a1,m+1 a1,m+2 . . an b1 x2 c2 a2,m+1 a2,m+2 . . an b2 −1 .. .. ........................ xm cm am,m+1 am,m+2 .

Q · xq ) + (1 − λ) · (µ3 · x3 + . . + µq · xq ), wobei 1 ≥ λ · λi ≥ 0, 1 ≥ (1 − λ) · µi ≥ 0 (i = 1, 2, . . , q) und λ · (λ3 + . . + λq ) +(1 − λ) · (µ3 + . . + µq ) = λ + (1 − λ) = 1. 5 Sei M ⊆ Rn×1 eine konvexe, nichtleere und beschr¨ ankte Menge. ur x ∈ M definierte lineare Außerdem bezeichne f eine durch f (x) = cT · x f¨ Funktion. , es gibt gewisse x∗ , x∗∗ ∈ M mit f (x∗ ) = min f (x) x∈M und f (x∗∗ ) = max f (x). x∈M (2) Nimmt die lineare Funktion f ihr Minimum (bzw. ihr Maximum) auf mehr als einen Punkt an, so nimmt sie es auf der gesamten konvexen H¨ ulle dieser Punkte an.

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