Arithmetic and geometry: papers dedicated to I.R. by Michael Artin, John Tate

By Michael Artin, John Tate

V. 1. mathematics -- v. 2. Geometry

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Par dévissage il suffit de le prouver pour N tel que IN = 0, auquel cas on a une suite exacte A/I A TorA 1 (M, A/I) ⊗A/I N −→ Tor1 (M, N ) −→ Tor1 (M/IM, N ) −→ 0. 52 Université Pierre et Marie Curie Master de Mathématiques Par hypothèse, le terme de droite est nul, donc on est ramené à prouver que TorA 1 (M, A/I) = 0. Ceci équivaut à l’injectivité de l’application I ⊗ M −→ IM . On prouve par récurrence descendente sur k l’injectivité de I k ⊗ M −→ I k M . Pour k = n, c’est trivial. Pour passer de k + 1 à k on utilise le diagramme / Ik I k+1 ⊗ _ A M  / ⊗A M  / I kM I k+1 M grk A ⊗A M /  ∼ grk M iii) ⇒ i).

I) X est régulier si et seulement si pour tout point fermé x de X, l’immersion fermée Spec(κ(x)) → X est régulière. ii) Soit i : Y → X une immersion fermée et x un point régulier de Y . Alors i est régulière en x si et seulement si X est régulier en x. Démonstration. i). Rappelons que X est dit régulier si tous ses anneaux locaux le sont. Parce que X est noethérien, tout point admet une spécialisation qui est un point fermé. 10 v), X est régulier si et seulement si tous les anneaux locaux en ses points fermés sont réguliers.

Celui-ci est en fait un isomorphisme, comme le montre le résultat un peu plus général suivant. – Soit f : X −→ S un morphisme et s : S → X une section de f . Alors le morphisme canonique s∗ ΩX/S −→ NS/X est un isomorphisme. Démonstration. 5 au diagramme suivant : S s    X f /X s ∆X/S /  / (s◦f,Id) X ×S X π1 / S  s X dans lequel π1 désigne la première projection. 4 Fonctorialité du cotangent. Remarquons que lorsque f : X −→ S est une immersion, on a ΩX/S = 0 puisque la diagonale est alors un isomorphisme.

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